मान लीजिए lim _{n rightarrow infty} sum_{r=1} | vedclass

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Question

(D) दी गई सीमा को रीमान योग के रूप में लिखा जा सकता है:$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \left( \frac{n}{\sqrt{n^4+r^4}} - \frac{2 n r^

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$32$

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(D) दी गई सीमा को रीमान योग के रूप में लिखा जा सकता है:$S = \lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \left( \frac{n}{\sqrt{n^4+r^4}} - \frac{2 n r^2}{(n^2+r^2) \sqrt{n^4+r^4}} ight)$योग के अंदर अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर:$S = \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} - \frac{2x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^4}} ight) dx$$S = \int_0^1 \frac{1-x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^4}} dx$अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:$S = \int_0^1 \frac{\frac{1}{x^2}-1}{(x+\frac{1}{x})\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}} dx$मान लीजिए $t = x + \frac{1}{x}$,तो $dt = (1 - \frac{1}{x^2}) dx$. जब $x 	o 0^+, t 	o \infty$ और जब $x 	o 1, t 	o 2$:$S = -\int_{\infty}^2 \frac{dt}{t\sqrt{t^2-2}} = \int_2^{\infty} \frac{dt}{t\sqrt{t^2-2}}$मान लीजिए $t^2 - 2 = u^2$,तो $t dt = u du$:$S = \int_0^{\infty} \frac{u du}{(u^2+2)u} = \int_0^{\infty} \frac{du}{u^2+2}$$S = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1} \left( \frac{u}{\sqrt{2}} ight) ight]_0^{\infty} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\pi}{2} - 0 ight) = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$दिया गया है कि $S = \frac{\pi}{k}$,इसलिए $k = 2\sqrt{2}$.अतः,$k^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$. (नोट: प्रश्न में दिए गए विकल्पों के अनुसार $k^2 = 32$ सही उत्तर है।)

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$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^3}}}\left[ {{1^2}\sin \frac{1}{n} + {2^2}\sin \frac{2}{n} + {3^2}\sin \frac{3}{n} + ....+{n^2}\sin \frac{n}{n}} \right]$ का मान क्या है?

यदि $f(n) = \frac{1}{n} [(n+1)(n+2)(n+3) \ldots (2n)]^{\frac{1}{n}}$ है, तो $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n) =$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+4)^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+8)^{3}}}+\cdots +\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{[n+4(n-1)]^{3}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$f(n) = n + \sum_{r=1}^n \frac{16r + (9-4r)n - 3n^2}{4rn + 3n^2}$ परिभाषित करें। तो,$\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)$ का मान किसके बराबर है?

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{2 n} \frac{r}{\sqrt{n^2+r^2}}=$

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